Disequazioni frazionarie

In questa lezione vediamo:

  • che cos’è una disequazione frazionaria (o fratta), noi considereremo per ora solo disequazioni di primo grado (la x ha esponente 1)
  • come si risolve (mediante lo studio dei segni)
  • come si rappresentano le soluzioni

Per questo argomento ho preparato un pdf: Disequazioni fratte, leggetelo con cura e se ci fossero problemi guardate anche il video che segue. Le notazioni sono leggermente differenti ma il procedimento è uguale.

Provate a risolvere la seguente disequazione:

 

\({ {2x +1 } \over {x-1}} > 0\)

 

Principi delle equazioni

Esistono due principi di equivalenza che ci aiutano a trovare la soluzione delle equazioni:

primo principio

Aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di un’equazione una stessa quantità  l’equazione ottenuta resta equivalente a quella data.

\(x + 3  = 5 \)

\(x + 3  \color{#ff0000}{ – 3} = 5   \color{#ff0000}{– 3}\)

\(x  = 2\)

approfondimento con esempi

secondo principio

Moltiplicando o dividendo entrambe i membri di un’equazione per una stessa quantità  diversa da zero l’equazione resta equivalente a quella data.

\({x \over  {3 } }= 5 \)

\(\color{#ff0000}{ 3 \cdot } {x \over 3} = \color{#ff0000}{ 3 \cdot } 5  \)

\(x  = 15\)

approfondimento con esempi

Osservando i principi possiamo dedurre 3 regole utili per risolvere le equazioni (passando attraverso equazioni equivalenti a quella data si ottiene il valore della x che la soddisfa)

Regola del trasporto:

posso trasportare un termine da una parte all’altra dell’uguale ma si deve cambiare il segno.

Regola dI CANCELLAZIONE:

posso cancellare i termine uguali che compaiono sia al primo che al secondo membro.

Regola dEL CAMBIAMENTO DEL SEGNO:

posso cambiare tutti i segni

IL VIDEO PER RIPASSARE:

Esercizi

 

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polinomi

Si dice polinomio un’espressione letterale formata dalla somma algebrica di due o più monomi non simili.

Esempi:  \(3x + 5y^2; b^3 – 2 + ac^2\)

Un polinomio assume il grado maggiore fra i gradi dei monomi che lo compongono:

Si dice termine noto, quello che non ha parte letterale quindi è solo un numero. Se non presente vuol dire che il termine noto è 0.

Un polinomio omogeneo è un polinomio in cui ogni monomio ha lo stesso grado.

Un polinomio è completo rispetto a una lettera se di quella lettera compaiono
tutte le potenze (dalla 0 alla maggiore).

 

Operazioni con gli insiemi

L’intersezione di A e B (si scrive A ∩ B) è l’insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B.

es.

A = {0, 1, 2,3}     B={1, 2, 3, 4}

A ∩ B = {1, 2 }

L’unione di A e B (si scrive A B) è l’insieme degli elementi che appartengono o ad A o a B o a entrambi.

Se A è l’insieme delle lettere della parola “matematica” e B è l’insieme delle lettere della parola “materia”. Quali elementi di A stanno in B? Quali elementi di B stanno in A? Quali sono gli elementi che stanno in entrambi gli insiemi?

Due insiemi sono disgiunti se non hanno elementi in comune.

La differenza fra A e B (si scrive A – B o anche A\B) è l’insieme formato dagli elementi di A che non sono elementi di B.

Se B è sottoinsieme di A, il complementare di B rispetto ad A è A-B e si indica con \(\overline{\rm B}subA\).

Il prodotto cartesiano di A e B si indica con AB# ed è costituito da tutte le coppie ordinate ab ;

» LEZIONE PRECEDENTE: Sottoinsiemi

Sottoinsiemi

Un insieme A si dice sottoinsieme di un insieme I (oppure che A è “contenuto” o “incluso” in I), se tutti gli elementi di A appartengono anche a I.

Si indica con \(A \subset I\) se è “strettamente” incluso oppure \(A \subseteq I\) se può essere uguale

Concetti da conoscere:

  • sottoinsieme,
  • sottoinsieme vuoto
  • sottoinsieme improprio
  • sottoinsieme proprio

Un insieme si definisce universo quando contiene tutti gli elementi esistenti.

ESEMPIO:

insieme universo U = { x | x è uno studente}
insieme S = {x | x è uno studente della classe 1B}
sottoinsieme F = {x | x è uno studente 15enne della 1B}
sottoinsieme vuoto \(\emptyset \) = {x | x è uno studente 20enne della 1B}
sottoinsiemi proprio F
sottoinsiemi impropri \(\emptyset \) e U
   

Mappa sottoinsiemi ( sito www.mappe-scuola.com)

» LEZIONE PRECEDENTE: Sottoinsiemi, operazioni con gli insiemi
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Definizione di insieme

Un insieme nel linguaggio matematico è un raggruppamento di oggetti chiamati elementi che hanno in comune caratteristiche ben definite.

Sono esempi di insiemi:

  • gli alunni di una classe;
  • i CD pubblicati da Maneskin;
  • i libri di una biblioteca
  • i punti di una circonferenza

Non è un insiemi “i film più belli del 2019”, “i dolci più buoni” perché non c’è accordo. Per qualcuno il tiramisù è il dolce più buono ma ad altre persone potrebbe non piacere.

I nomi degli insiemi si indicano con lettere maiuscole e gli elementi con lettere
minuscole.

Un elemento può appartenere (si indica con )oppure non appartenere a un insieme (si indica con ). Esempio u appartiene all’insieme delle vocali u V ma non appartiene all’insieme delle consonanti u C.

Rappresentazione degli insiemi

con diagramma di Eulero-Venn
    per elencazioneC = {b, c, d, f, g, h, l, m, n, p, q, r, s, t, v, z}
per caratteristica    C = {x | x è una consonante dell’alfabeto italiano} dove “|” signifjca “tale che” e si legge “l’insieme C costituito da tutti gli elementi x tali che x è una consonante dell’alfabeto italiano”.

♦ esercizi

Caratteristiche degli insiemi

In relazione al numero di elementi, gli insiemi si possono definire:

  • infiniti, (es. i numeri naturali)
  • finiti, (es. le cifre di un numero telefonico)
  • vuoti. (es. l’insieme degli umani alti più di tre metri)

La cardinalità di un insieme è il numero che indica quanti elementi possiede. Ad esempio, l’insieme A = {a, e, i , o, u}  ha cinque elementi quindi cardinalità 5; l’insieme dei numeri naturali \( \mathbb{N} \) ha invece cardinalità ∞.

Si può scrivere:

#A = 5     oppure     |A|=5
#\( \mathbb N \) = ∞     oppure     |\( \mathbb{N} \) |= ∞

Due insiemi con la stessa cardinalità sono detti equipotenti.

» LEZIONE SUCCESSIVA: Sottoinsiemi, operazioni con gli insiemi

Esercitazione mutuo con tasso annuale convertibile

Si calcoli il piano di ammortamento a quota capitale costante e rata semestrale relativo ad un prestito di importo pari a 5.000 euro. Il prestito è stato stipulato a gennaio 2019 e si estinguerà a gennaio 2022. Il tasso annuo nominale è pari al 2,4% .

  • Metodo di Calcolo: Capitale Costante (metodo italiano)
  • Importo del Finanziamento: € 5.000,00
  • Tasso di Interesse Annuo: 2,4%
  • Periodo:  rate semestrali posticipate
  • Durata: 3 anni

Cosa devo calcolare?

SOLUZIONE: Soluzione Esercitazione


ESERCITAZIONI AMMORTAMENTO PER PROSSIMA VOLTA

  1. Si calcoli il piano di ammortamento a quota capitale costante e rata semestrale relativo ad un prestito di importo pari a 600.000 euro. Il prestito è stato stipulato a gennaio 2012 e si estinguerà a gennaio 2016. Il tasso nominale annuo è pari al 7% convertibile semestralmente.
  2. Redigere il piano di ammortamento italiano per un debito di 90.000 € da rimborsare in 3 anni, rate semestrali posticipate al tasso nominale annuo del 5% convertibile semestralmente.
  3. Redigi il piano di ammortamento di un prestito di 10.000 euro, rimborsabile con ammortamento uniforme in 24 mesi al 6% annuo nominale convertibile mensilmente.

Soluzione esercizi, .correzione A.B

TAN, TAE e TAEG

Un esempio di tabella di differenza sul sito TELEMUTUO: https://www.telemutuo.it/culturamutui/nominale-effettivo.html

Un problema da tenere in conto negli esercizi è l’approssimazione: se le cifre decimali sono poche allora avremo che il dato risultante può essere falsato, mentre se il dato decimale è troppo lungo avremo un appesantimento dei calcoli: una discreta approssimazione si ottiene considerando 7 cifre decimali, quindi se dovremo fare i calcoli noi, non avendo una calcolatrice disponibile, approssimeremo i dati decimali alla settima cifra

https://youtu.be/ZqIh4gpDkFc