Esercizio sugli insiemi matematici nr. 01

Esempi:

Sono insiemi: Non sono insiemi:
• gli studenti della scuola che hanno meno di 18 anni;

• i nomi maschili che cominciano con la lettera A; • i numeri pari;

• i poligoni con quattro lati.

• gli abitanti di Trento che sono vestiti bene;

• i nomi più belli;

• i numeri grandi;

• i poligoni con tanti lati.

ESERCIZIO 1)

Dividi il tuo quaderno in due colonne.

A sinistra scrivi quali dei seguenti raggruppamenti sono insiemi e a destra quelli che non lo sono.

  • I fiumi italiani
  • I calciatori italiani più bravi
  • I giorni della settimana
  • Le automobili veloci prodotte in Italia
  • Lunedì, martedì, giovedì, venerdì, sabato, domenica
  • Le montagne più alte del Trentino
  • I multipli di 4
  • I numeri piccoli
  • I multipli di 4 tranne 8, 20 e 24.
  • Le bottiglie di vino bianco prodotte in Trentino
  • Le bottiglie più costose
  • I colori dell’arcobaleno
  • I mesi con 30 giorni
  • I mesi con 32 giorni
  • Gli abitanti del comune di Rovereto
  • Le lettere della parola “Scuola”
  • Le consonanti della parola “Scuola”
  • I CD di musica rilassante
  • I CD pubblicati da Fedez (cioè discografia)

ESERCIZIO 2)

A sinistra elenca quattro raggruppamenti che sono insiemi e a destra quattro raggruppamenti che non sono insiemi. Usa esempi diversi da quelli qui sopra, ma con categorie simili: nella prima riga definisci gruppi di persone, nella seconda gruppi di parole, nella terza gruppi di numeri e nella quarta gruppi di prodotti.

ESERCIZIO 3) Vai sul sito amazon.it e crea 3 insiemi matematici con 5 elementi. Es.

Cancelleria {penne, quaderni, pennarelli, temperamatite, evidenziatori}

Disequazioni frazionarie

In questa lezione vediamo:

  • che cos’è una disequazione frazionaria (o fratta), noi considereremo per ora solo disequazioni di primo grado (la x ha esponente 1)
  • come si risolve (mediante lo studio dei segni)
  • come si rappresentano le soluzioni

Per questo argomento ho preparato un pdf: Disequazioni fratte, leggetelo con cura e se ci fossero problemi guardate anche il video che segue. Le notazioni sono leggermente differenti ma il procedimento è uguale.

Provate a risolvere la seguente disequazione:

 

\({ {2x +1 } \over {x-1}} > 0\)

 

Introduzione ricerca operativa

Fasi necessarie alla formulazione e alla risoluzione di un problema di R.O.:

  1. esaminare la situazione e raccogliere i dati noti;
  2. determinare le variabili  e le quantità da massimizzare o minimizzare;
  3. costruire il modello matematico del problema. Spesso si fanno semplificazioni che non stravolgono il problema stesso ma semplificano il calcolo.
  4. Definire i vincoli delle variabili;
  5. Risolvere il problema con le tecniche matematiche più opportune;
  6. Analizzare e le soluzioni ottenute.

Tipologia di PROBLEMI DI SCELTA di R.O.

  • tra alternative quantitative: si tratta di determinare i valori numerici delle variabili che costituiscono la soluzione migliore;
  • tra alternative qualitative: si tratta di individuare il modo migliore per la realizzazione di un certo obiettivo;
  • in condizioni di certezza: le quantità si possono ritenere non dipendenti da eventi casuali;
  • in condizioni di incertezza: le quantità dipendono sensibilmente da eventi casuali;
  • con effetti immediati: il tempo che intercorre tra la decisione e gli effetti della scelta si può considerare ininfluente;
  • con effetti differiti: il tempo che intercorre tra la determinazione della scelta e gli effetti della scelta stessa non può essere trascurato.

 

Risoluzione dei sistemi lineari di primo grado

Sistemi equivalenti

Quando due sistemi hanno le stesse incognite (es. x y) e le stesse soluzioni.


Principi di equivalenza

Anche per i sistemi valgono due principi di equivalenza importanti e utili per determinare le soluzioni:

per il principio di sostituzione se si ricava un’incognita da un’equazione e la si sostituisce nelle altre, si ottiene un sistema equivalente.

Esempio:

\(\left\{ \begin{array}{l} x+y=5\\ \\ y=2 x-4\end{array} \right.\) 

Il sistema ha due equazioni:

\(x+y=5\)  e

\(y=2 x-4\) 

si può ricavare y facilmente dalla seconda equazione:  \(y=\) \(2 x-4\)

e sostituirlo nella prima, ottenendo una equazione di primo grado in una incognita (la x):

 \(x + \) \(2 x-4 \)\(=5\)

per il principio di riduzione se in un sistema si addizionano o si sottraggono membro a membro due o più equazioni e poi si sostituisce l’equazione ottenuta ad un’equazione del sistema, si ottiene un sistema equivalente.

Esempio

\(\left\{ \begin{array}{l} 5x+3y=18\\ \\ 3y+2 x=7\end{array} \right.\) 

sottraiamo la seconda dalla prima

\(\left\{ \begin{array}{l} 5x+3y-(3y-2x)=18-(7)\\ \\ 3y+2 x=7\end{array} \right.\) 


Metodi di risoluzione dei sistemi

Applicando i principi di equivalenza appena enunciati si può risolvere un sistema di equazioni di primo grado in due variabili (x e y) .

Si può scegliere in base alla comodità se usare il metodo della sostituzione o il metodo della riduzione.

Esercizi di scelta nr. 2

– 1 –

Un consulente si muove utilizzando un auto a noleggio. Le società interpellate gli offrono i seguenti tipi di noleggio:

1. costo mensile 120 € più 0,40 € al km.
2. costo mensile 55 € più 0,85 € al km.
3. costo mensile 310 € comprensivo anche di tutti i chilometri percorsi.

Quale conviene? Elaborare il grafico.


– 2 –

Dopo le vacanze di Natale la professoressa ha bisogno di una dieta. Va in erboristeria e il negoziante gli propone 3 prodotti che combinati con una camminata da 5 km promettono:

(a) subito una perdita di 3 chili più 50 grammi ogni volta che va a camminare
(b) subito una perdita di 1,5 chili più 150 grammi ogni volta che va a camminare
(c) subito una perdita di 2 chili più 300 grammi ogni volta che va a camminare

Quale conviene? Elaborare il grafico.

Esercizio problemi di scelta

Un piccolo ufficio di commercialisti decide di dotarsi di una macchinetta per il caffè. Due fornitori fanno le seguenti offerte:

  1. Fornitore A: Macchina in comodato d’uso gratuito e 0,30 € a capsula
  2. Fornitore B: Costo iniziale della macchinetta 47,80 € e 0,15 € a capsula.

Stabilisci, in dipendenza del numero di capsule consumate, la scelta più conveniente.

Soluzione:

Poniamo le incognite:

x = il numero di capsule acquistate; \(x \in \mathbb{N} \)

y= il costo del bere il caffé; \(y \in \mathbb{R} \)

costruiamo le funzioni:

f1:  \(y = 0,30x  \) (fornitore A)

f2:  \(y = 0,15x + 47,80 \) (fornitore B)

Disegniamo i grafici delle due funzioni lineari

Per determinare il punto A di intersezione si deve risolvere il sistema di equazioni:

\(\begin{cases} y = 0,3x   \\ y = 0,15x + 47,80 \end{cases}\)

da cui (sistema della sostituzione)

\(\begin{cases} y = 0,3x   \\ 0,3x = 0,15x + 47,80 \end{cases}\) \(\begin{cases} y = 0,3x   \\ 0,15x =  + 47,80 \end{cases}\) \(\begin{cases} y = 0,3x   \\ x =  + 47,80/0,15 \end{cases}\) \(\begin{cases} y = 0,3x   \\ x =  + 318,67 \end{cases}\) \(\begin{cases} y = 0,3· 318,67  \\ x =  + 318,67 \end{cases}\) \(\begin{cases} y = 95,60  \\ x =  + 318,67 \end{cases}\)

La linea del costo più conveniente è quella in verde evidenziata con uno spessore maggiore (f e g).

Essa è costituita dai rami delle due funzioni che hanno ordinata y minore.

A parole:

Dall’analisi dei grafici si ottiene:

  • Per x< 318,67 (cioè un consumo fino a 318 caffè) conviene il fornitore A
  • Per x>318,67 (se si bevono più di 318 caffè) conviene il fornitore B
  • Per x=318,67 sarebbe indifferente scegliere il  fornitore A o B ma poiché le cialde sono numeri interi il punto di equilibrio non c’è.

 

Principi delle equazioni

Esistono due principi di equivalenza che ci aiutano a trovare la soluzione delle equazioni:

primo principio

Aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di un’equazione una stessa quantità  l’equazione ottenuta resta equivalente a quella data.

\(x + 3  = 5 \)

\(x + 3  \color{#ff0000}{ – 3} = 5   \color{#ff0000}{– 3}\)

\(x  = 2\)

approfondimento con esempi

secondo principio

Moltiplicando o dividendo entrambe i membri di un’equazione per una stessa quantità  diversa da zero l’equazione resta equivalente a quella data.

\({x \over  {3 } }= 5 \)

\(\color{#ff0000}{ 3 \cdot } {x \over 3} = \color{#ff0000}{ 3 \cdot } 5  \)

\(x  = 15\)

approfondimento con esempi

Osservando i principi possiamo dedurre 3 regole utili per risolvere le equazioni (passando attraverso equazioni equivalenti a quella data si ottiene il valore della x che la soddisfa)

Regola del trasporto:

posso trasportare un termine da una parte all’altra dell’uguale ma si deve cambiare il segno.

Regola dI CANCELLAZIONE:

posso cancellare i termine uguali che compaiono sia al primo che al secondo membro.

Regola dEL CAMBIAMENTO DEL SEGNO:

posso cambiare tutti i segni

IL VIDEO PER RIPASSARE:

Esercizi

 

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Proprietà operazioni

commutare v. tr. [dal lat. commutare, comp. di con– e mutare «mutare»] (io commùto, ecc.). – 1. a. Sostituire una cosa con un’altra, scambiare fra loro due cose (anticam. anche persone): ci fattori di una moltiplicazionela pena di morte gli fu commutata nell’ergastolo. Nel rifl. recipr., commutarsi, scambiarsi, invertirsi; con questo sign., in matematica, anche commutare intr. b. letter. Trasmutare, trasformare: fiori … che raccolsero e commutarono in indistruttibili essenze (D’Annunzio). 2. In elettrotecnica: a. Invertire il senso della corrente in un circuito. b. Mutare in qualche modo i collegamenti tra elementi circuitali o tra circuiti.

treccani

associare v. tr. [dal lat. tardo associare, der. di socius «socio»] (io assòcio, ecc.). – 1. Aggregare qualcuno quale socio, ammetterlo alla partecipazione di qualche cosa: aa un’impresaa una societàa un’organizzazionea. un nuovo membro nel circoloaun partito alle responsabilità di governo. Rifl., associarsi a (o conqualcuno, unirsi a lui come socio in un’impresa; associarsi a un circolo e sim., farsi socio; associarsi a un giornalea una pubblicazione, sottoscrivere un’associazione; fig., associarsi al doloreal luttoalla gioia di qualcuno, prendervi parte. 2. Unire, accoppiare, mettere insieme o in società: il bisogno associa gli uominia. le forzeai capitali, unirli a scopo commerciale. Fig., collegare, connettere: aun’idea a (o, meno com., conun’altraadue fatti apparentemente indipendentiaun nome alla fisionomia di una persona3. non com. Trasferire o portare una persona in un luogo; soprattutto nelle frasi aqualcuno alle carceri, condurvelo, e ail cadavere alla chiesa funerante, per le esequie. ◆ Part. pres. associante, anche come s. m., chi, nel contratto di associazione in partecipazione, attribuisce a un altro soggetto una partecipazione alla sua impresa o a uno o più affari. ◆ Part. pass. associato, anche come agg. e s. m. (v. la voce).

treccani

invariantivo agg. [der. di invariante]. – Termine usato nella matematica e in altre scienze (fisica, chimica, ecc.) con due diversi sign., uno intransitivo, che non varia: per es., proprietà i. (di fronte a certe trasformazioni), e si può considerare in tal caso sinon. dell’agg. invariante; e uno transitivo, che non fa variare: per es., trasformazione i. (nei riguardi di certe proprietà o grandezze)

www.treccani.it