Risoluzione dei sistemi lineari di primo grado

Sistemi equivalenti

Quando due sistemi hanno le stesse incognite (es. x y) e le stesse soluzioni.


Principi di equivalenza

Anche per i sistemi valgono due principi di equivalenza importanti e utili per determinare le soluzioni:

per il principio di sostituzione se si ricava un’incognita da un’equazione e la si sostituisce nelle altre, si ottiene un sistema equivalente.

Esempio:

\(\left\{ \begin{array}{l} x+y=5\\ \\ y=2 x-4\end{array} \right.\) 

Il sistema ha due equazioni:

\(x+y=5\)  e

\(y=2 x-4\) 

si può ricavare y facilmente dalla seconda equazione:  \(y=\) \(2 x-4\)

e sostituirlo nella prima, ottenendo una equazione di primo grado in una incognita (la x):

 \(x + \) \(2 x-4 \)\(=5\)

per il principio di riduzione se in un sistema si addizionano o si sottraggono membro a membro due o più equazioni e poi si sostituisce l’equazione ottenuta ad un’equazione del sistema, si ottiene un sistema equivalente.

Esempio

\(\left\{ \begin{array}{l} 5x+3y=18\\ \\ 3y+2 x=7\end{array} \right.\) 

sottraiamo la seconda dalla prima

\(\left\{ \begin{array}{l} 5x+3y-(3y-2x)=18-(7)\\ \\ 3y+2 x=7\end{array} \right.\) 


Metodi di risoluzione dei sistemi

Applicando i principi di equivalenza appena enunciati si può risolvere un sistema di equazioni di primo grado in due variabili (x e y) .

Si può scegliere in base alla comodità se usare il metodo della sostituzione o il metodo della riduzione.

polinomi

Si dice polinomio un’espressione letterale formata dalla somma algebrica di due o più monomi non simili.

Esempi:  \(3x + 5y^2; b^3 – 2 + ac^2\)

Un polinomio assume il grado maggiore fra i gradi dei monomi che lo compongono:

Si dice termine noto, quello che non ha parte letterale quindi è solo un numero. Se non presente vuol dire che il termine noto è 0.

Un polinomio omogeneo è un polinomio in cui ogni monomio ha lo stesso grado.

Un polinomio è completo rispetto a una lettera se di quella lettera compaiono
tutte le potenze (dalla 0 alla maggiore).

 

Equazioni algebriche di 1° grado ad una incognita

  • Secondo la vostra esperienza, cosa è un problema?

possiamo affermare che in un problema, noti alcuni elementi (i dati) si chiede di determinarne altri (le incognite), legati ai primi e gli uni agli altri, da un insieme di relazioni; tali relazioni o sono evidenziate esplicitamente dall’enunciato del problema o sono da ricercare.

ALCUNI ESEMPI:

  • trovare due numeri naturali pari il cui prodotto è 35; IMPOSSIBILE
  • trovare due numeri naturali pari il cui prodotto è 28; POSSIBILE
  • trovare due numeri naturali la cui somma è 8; DETERMINATO più coppie
  • trovare due numeri decimali positivi la cui somma è 8. INDETERMINATO

quindi esistono problemi determinati (che ammettono una o più soluzioni ma in numero finito), indeterminati (ammettono infinite soluzioni), impossibili (non ammettono alcuna soluzione).

Scopriremo che esiste un potente strumento per risolvere problemi: LE EQUAZIONI.