Introduzione ricerca operativa

Fasi necessarie alla formulazione e alla risoluzione di un problema di R.O.:

  1. esaminare la situazione e raccogliere i dati noti;
  2. determinare le variabili  e le quantità da massimizzare o minimizzare;
  3. costruire il modello matematico del problema. Spesso si fanno semplificazioni che non stravolgono il problema stesso ma semplificano il calcolo.
  4. Definire i vincoli delle variabili;
  5. Risolvere il problema con le tecniche matematiche più opportune;
  6. Analizzare e le soluzioni ottenute.

Tipologia di PROBLEMI DI SCELTA di R.O.

  • tra alternative quantitative: si tratta di determinare i valori numerici delle variabili che costituiscono la soluzione migliore;
  • tra alternative qualitative: si tratta di individuare il modo migliore per la realizzazione di un certo obiettivo;
  • in condizioni di certezza: le quantità si possono ritenere non dipendenti da eventi casuali;
  • in condizioni di incertezza: le quantità dipendono sensibilmente da eventi casuali;
  • con effetti immediati: il tempo che intercorre tra la decisione e gli effetti della scelta si può considerare ininfluente;
  • con effetti differiti: il tempo che intercorre tra la determinazione della scelta e gli effetti della scelta stessa non può essere trascurato.

 

Esercizi di scelta nr. 2

– 1 –

Un consulente si muove utilizzando un auto a noleggio. Le società interpellate gli offrono i seguenti tipi di noleggio:

1. costo mensile 120 € più 0,40 € al km.
2. costo mensile 55 € più 0,85 € al km.
3. costo mensile 310 € comprensivo anche di tutti i chilometri percorsi.

Quale conviene? Elaborare il grafico.


– 2 –

Dopo le vacanze di Natale la professoressa ha bisogno di una dieta. Va in erboristeria e il negoziante gli propone 3 prodotti che combinati con una camminata da 5 km promettono:

(a) subito una perdita di 3 chili più 50 grammi ogni volta che va a camminare
(b) subito una perdita di 1,5 chili più 150 grammi ogni volta che va a camminare
(c) subito una perdita di 2 chili più 300 grammi ogni volta che va a camminare

Quale conviene? Elaborare il grafico.

Esercizio problemi di scelta

Un piccolo ufficio di commercialisti decide di dotarsi di una macchinetta per il caffè. Due fornitori fanno le seguenti offerte:

  1. Fornitore A: Macchina in comodato d’uso gratuito e 0,30 € a capsula
  2. Fornitore B: Costo iniziale della macchinetta 47,80 € e 0,15 € a capsula.

Stabilisci, in dipendenza del numero di capsule consumate, la scelta più conveniente.

Soluzione:

Poniamo le incognite:

x = il numero di capsule acquistate; \(x \in \mathbb{N} \)

y= il costo del bere il caffé; \(y \in \mathbb{R} \)

costruiamo le funzioni:

f1:  \(y = 0,30x  \) (fornitore A)

f2:  \(y = 0,15x + 47,80 \) (fornitore B)

Disegniamo i grafici delle due funzioni lineari

Per determinare il punto A di intersezione si deve risolvere il sistema di equazioni:

\(\begin{cases} y = 0,3x   \\ y = 0,15x + 47,80 \end{cases}\)

da cui (sistema della sostituzione)

\(\begin{cases} y = 0,3x   \\ 0,3x = 0,15x + 47,80 \end{cases}\) \(\begin{cases} y = 0,3x   \\ 0,15x =  + 47,80 \end{cases}\) \(\begin{cases} y = 0,3x   \\ x =  + 47,80/0,15 \end{cases}\) \(\begin{cases} y = 0,3x   \\ x =  + 318,67 \end{cases}\) \(\begin{cases} y = 0,3· 318,67  \\ x =  + 318,67 \end{cases}\) \(\begin{cases} y = 95,60  \\ x =  + 318,67 \end{cases}\)

La linea del costo più conveniente è quella in verde evidenziata con uno spessore maggiore (f e g).

Essa è costituita dai rami delle due funzioni che hanno ordinata y minore.

A parole:

Dall’analisi dei grafici si ottiene:

  • Per x< 318,67 (cioè un consumo fino a 318 caffè) conviene il fornitore A
  • Per x>318,67 (se si bevono più di 318 caffè) conviene il fornitore B
  • Per x=318,67 sarebbe indifferente scegliere il  fornitore A o B ma poiché le cialde sono numeri interi il punto di equilibrio non c’è.

 

Esercizi di riepilogo percentuali

PROBLEMA DIRETTO

Calcolare la quantità P conoscendo il totale S e il tasso percentuale r.

La cantina Bacco S.r.l ha commercializzato nel 2018 35.000 bottiglie di vino. Il 35% sono bottiglie di vino bianco. Quante sono le bottiglie di vino bianco?

PROBLEMI INVERSI

Calcolare la quantità S conoscendo la quantità P e il tasso percentuale r.

La cantina Bacco S.r.l ha deciso di dare un premio di produzione di 550 € al direttore del reparto vendite. L’aumento corrisponde al 25% del suo stipendio mensile. Calcola lo stipendio mensile del direttore.

Calcolare il tasso (o saggio) percentuale r conoscendo la quantità P e il totale S.

Alla cantina Bacco S.r.l ha 125 dipendenti di cui 20 si occupano dell’amministrazione. Qual è la percentuale degli amministrativi?

SOPRACENTO SOTTOCENTO

PROBLEMA SOPRACENTO DIRETTO (es. calcolo prezzo con IVA)

Calcolare la quantità aumentata conoscendo la quantità S di partenza e il tasso percentuale r di aumento.

Alla cantina Bacco S.r.l devono spedire 10 casse contenenti 12 bottiglie ciascuna dal prezzo netto di 8 € a bottiglia. Calcolare il costo lordo della cassa cioè compreso del 22% dell’IVA?

(Ricordarsi la scorciatoia → moltiplico per 1,r)

PROBLEMA SOPRACENTO INVERSO (es. scorporo IVA)

Calcolare la quantità aumentata conoscendo la quantità S+P finale e il tasso percentuale r di aumento calcolare la quantità S di partenza.

Alla cantina Bacco S.r.l devono acquistare da un fornitore 15 casse di olio da utilizzare in confezioni regalo assieme a quelle del loro vino. In totale spendono 800 € compresi di IVA al 4%. Calcolare il prezzo netto.

(Ricordarsi la scorciatoia → divido per 1,r)

PROBLEMA SOTTOCENTO DIRETTO (es. sconto)

Calcolare la somma scontata conoscendo la quantità S+P la quantità di partenza S e il tasso percentuale r.

Alla cantina Bacco S.r.l è tempo di sconti. In negozio fino alla fine del mese c’è un ribasso del 20% sulle casse di vino rosso annata 2015. Il prezzo normale è di 136 euro a cassa. Calcolare il prezzo finale.

VARIAZIONE PERCENTUALE

Calcolare la differenza fra due quantità in percentuale.

Nel mese di gennaio sono state vendute 20.000 bottiglie. Nel mese di luglio dello stesso anno, invece, le bottiglie vendute sono state 25.000. Qual è stata la variazione percentuale di bottiglie vendute?

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Calcolo percentuale

La percentuale (simbolo %) è una frazione avente 100 al denominatore e al numeratore un numero che indica quante unità su cento rispettano una certa condizione. Il numero che accompagna il simbolo % è il numeratore della frazione e si chiama tasso percentuale.


62% = \( \frac {62 } {100} \) = \( \frac {tasso\: percentuale} {100} \)


Calcolo percentuale con le proporzioni

Percentuale può essere scritta come proporzione con un termine fisso uguale a 100. Può essere scritta in molti modi (posizione del 100, lettere usate) noi utilizziamo una tra le più diffuse:

r = tasso (o ragione) percentuale (indicato con il simbolo %);

S = è il “ Totale” (la quantità) su cui si calcola la parte o si applica la percentuale;

P = è la “Parte” o “percento totale” ovvero il valore in termini assoluti che corrisponde alla percentuale.

Nei problemi commerciali S e P possono essere grandezze monetarie (costi, ricavi, provvigioni, sconti…) o misure di peso (peso lordo, peso netto, tara, cali,…) ecc.

Problemi diretti


Il termine incognito è un parte del totale P
calcolare la quantità P conoscendo il totale S e il tasso percentuale:

\( 100 : r = S : P \) → \( P = \frac{r \cdot S}{100} \)


Esempio: In uno teatro ci sono 340 spettatori. Di essi il 15% ha pagato il biglietto ridotto.Quanti sono gli spettatori che hanno pagato il biglietto intero e quanti quelli che hanno il biglietto ridotto?

\( 100 : 15 = 340 : P \) → \( P = \frac{15 \cdot 340}{100} = 51\)

materiale di supporto:

Esercizi con soluzioni


il video…


un esempio concreto…

Sondaggio ipsos pagnoncelli (Corriere della sera)

Calcoli percentuali sopracento e sottocento

Il calcolo percentuale serve per risolvere problemi che riguardano formule economiche di base come per es.:

  • Peso Lordo = Peso Netto + Tara;
  • Ricavo = Utile + Costo;
  • Costo comprensivo d’IVA= Costo Netto + relativa I. V. A.

La formula della proporzione è:

100 : r = S : P

r = ragione percentuale

esprime quante unità di una certa grandezza corrispondono a 100 unità di un’altra grandezza. Può esprimere sconti, tasse,

Tutti i problemi che incontrerai saranno caratterizzati da 4 termini (3 noti + 1 da trovare):

  • un valore noto;
  • un valore percentuale ricavabile immediatamente, o già trascritto;
  • un’incognita da trovare (x);
  • il quarto termine della proporzione sarà 100.

ESEMPI CONCRETI

Percentuale diretto:
Se una partita di merce costa 3.800 € il fornitore concede uno sconto del 6%. A quanto ammonta lo sconto?

Percentuale inverso:
Un rappresentante durante l’ultimo trimestre del 2016 ha venduto merce per 36.000 € percependo una provvigione pari a 2.800 €. Determinare la misura percentuale della provvigione.

Percentuale inverso:
Durante il trasporto dall’India una partita di The verde ha subito un calo di peso del 3% rispetto a quello originario. Qual è il peso originale sapendo che il calo è di 25,5 kg?

Sopracento diretto:
Sonia vuole regalare all’amica che vive a Londra una confezione di caffé il cui peso netto è di 2 kg e sapendo che la tara è il 5% del peso netto. Qual è il peso lordo che dichiarerà all’ufficio postale?

Sopracento inverso:
Il prezzo di vendita di un aspirapolvere super tecnologico è di 1.960 €. Sapendo che sul costo di aquisto c’è un ricarico del 40% calcolare il costo d’acquisto per il commerciante.

Sottocento inverso:
Un litro di benzina nel 2016 costava 1,31 €; considerando che oggi è di 1,42 € per litro, qual è stato l’aumento percentuale subito dal costo della benzina?

Sottocento diretto:
L’azienda MediaClic applica lo sconto mercantile del 25% su tutti i prodotti in vendita e calcola i prezzi dei seguenti prodotti:
– un lettore MP3, il cui costo di listino è di € 49,99;
– un notebook al prezzo scontato di € 999,50;
– una fotocamera digitale a cui viene applicato uno sconto che ammonta a € 75,50.

Determina:
– il prezzo scontato del lettore MP3;
– il prezzo di listino (originario) del notebook prima dell’offerta;
– il prezzo scontato della fotocamera digitale.

Soluzioni

Esercitazioni

http://www.economia-aziendale.it/sites/default/files/UDO_Albezzano/calcoli_sopracento_sottocento/index.html

Materiale di supporto

Variazioni percentuali

Per comprendere l’incremento (o decremento) di un valore nel tempo possiamo ricorrere alla formula della variazione percentuale di una grandezza.

Come si calcola? Esiste una formula per trovarla.

DEFINIZIONE: La variazione percentuale di una grandezza è un valore percentuale che esprime la differenza tra il valore finale e il valore iniziale di una grandezza in termini percentuali, considerando come valore di riferimento quello iniziale.

Per calcolare la variazione percentuale di una grandezza dobbiamo conoscerne il valore iniziale ed il valore finale.

incremento percentuale se la variazione è positiva cioè Valore finale > Valore iniziale

decremento percentuale se la variazione è negativa,Valore finale < Valore iniziale

variazione nulla se la variazione è uguale a zero, ossia se Valore finale = Valore iniziale

Esempio di calcolo della variazione percentuale

Una maglietta l’anno scorso costava 12 €, quest’anno costa 18 €. Qual è la variazione percentuale?

Svolgimento: nel nostro esempio la grandezza x è la variazione di prezzo in percentuale della maglietta. Da quanto ci dice il problema sappiamo che: x= (18-12)/12 *100

Abbiamo tutto quello che ci occorre per calcolare la variazione percentuale della nostra grandezza. Utilizzando la seconda formula abbiamo:

x=6/12*100 

x= 50 %

Attenzione a distinguere bene il valore iniziale da quello finale!

Esercizi

1) Un negozio di abbigliamento ha fatturato 120.000€ nel 2016 e 150.000€ nel 2017. Qual è stata la variazione di fatturato?

2) Un cinema ha staccato 2100 biglietti nel 2016 e 1850 nel 2017. Qual è stata la variazione di fatturato?

Scorporo IVA

 

Dopo aver ripassato i calcoli con le percentuali passiamo a un particolare tipo di calcolo: lo scorporo dell’IVA.

L’Imposta sul Valore Aggiunto, è un’imposta indiretta che è stata istituita a livello comunitario e in seguito recepita dall’ordinamento italiano.
Viene applicata su tutte le vendite e prestazioni di servizi a livello nazionale, mentre per le esportazioni e importazioni ci sono delle norme ad hoc che ne regolano l’imposizione per risolvere problemi a livello intracomunitario.
In Italia sono presenti 3 aliquote che possono essere variate sia come composizione di beni nell’aliquota sia come aliquota vera e propria.

Ad oggi, esiste un’aliquota ordinaria pari al 22% per la maggior parte dei beni e servizi prodotti, un’aliquota agevolata al 10%, in cui rientrano alcune tipologia di prestazione di servizi (es. ristrutturazioni di alcuni immobili) e un’aliquota ridotta al 4% che va a colpire i beni di prima necessità (es. latte, uova, alcuni capi di abbigliamento).

È un’imposta indiretta, perché non va a colpire direttamente un reddito o un patrimonio ma colpisce i consumi, ossia un metodo indiretto per capire la capacità contributiva del soggetto.
L’IVA ricade interamente sui consumatori per le imprese, non è un costo per il metodo della rivalsa (art. 18), in cui viene detto che l’IVA sugli acquisti viene dedotta dall’IVA sulle vendite che pagano solo la differenza sul loro valore aggiunto che infine andrà a ricadere sul consumatore finale.
In Italia negli ultimi anni ci sono stati due aumenti di aliquota, dal 20% al 21% e successivamente al 22%.
(fonte www.skuola.net)

Chiamiamo imponibile la cifra da tassare, totale ivato il prezzo finale quindi:

PREZZO FINALE = IMPONIBILE + IVA

ESEMPIO 1:  Scatola Te Twinings da tenere in ufficio per una pausa:

Imponibile => 4,79 €

Aliquota => 22%

IVA => 4,79 * 0,22 = 1,05 €

Prezzo finale=> 4,79 + 1,05 = 5,84 

Ricorda scorciatoia se si vuole  saltare un passaggio  =>

5,84 = 4,79*1,22

Se conosco il prezzo finale ivato (5,84 €) e l’aliquota (22%) posso ricavare il prezzo netto dividendo il prezzo finale per 1,22.

Quindi prezzo senza IVA = 5,84 / 1,22 

 

ESEMPIO 2:  Scatola di penne

Imponibile = 22,49 €

IVA = 22,49 * 1,22 

Prezzo finale = 27,44

Scorporare l’IVA vuol dire conoscere il prezzo finale e risalire all’imponibile. 

 

 

ESEMPIO 3: Prezzo finale di una scamorza affumicata è di 1,99 euro. L’aliquota è il 4%. Quanto vale il prezzo netto? 

Prezzo netto = 1,99/1,04


RIASSUMENDO:

100:(100+Aliquota IVA) = Imponibile : (Prezzo finale)

Imponibile = Prezzo finale * 100 / (100 + Aliquota)

Saltando un passaggio => Imponibile = Prezzo finale / 1,Aliquota IVA


ESERCIZIO:

Lo scontrino da scorporare, file excel

Scorciatoia: 

Ricordatevi il musical:

APPROFONDIMENTI: