Principi delle equazioni

Esistono due principi di equivalenza che ci aiutano a trovare la soluzione delle equazioni:

primo principio

Aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di un’equazione una stessa quantità  l’equazione ottenuta resta equivalente a quella data.

\(x + 3  = 5 \)

\(x + 3  \color{#ff0000}{ – 3} = 5   \color{#ff0000}{– 3}\)

\(x  = 2\)

approfondimento con esempi

secondo principio

Moltiplicando o dividendo entrambe i membri di un’equazione per una stessa quantità  diversa da zero l’equazione resta equivalente a quella data.

\({x \over  {3 } }= 5 \)

\(\color{#ff0000}{ 3 \cdot } {x \over 3} = \color{#ff0000}{ 3 \cdot } 5  \)

\(x  = 15\)

approfondimento con esempi

Osservando i principi possiamo dedurre 3 regole utili per risolvere le equazioni (passando attraverso equazioni equivalenti a quella data si ottiene il valore della x che la soddisfa)

Regola del trasporto:

posso trasportare un termine da una parte all’altra dell’uguale ma si deve cambiare il segno.

Regola dI CANCELLAZIONE:

posso cancellare i termine uguali che compaiono sia al primo che al secondo membro.

Regola dEL CAMBIAMENTO DEL SEGNO:

posso cambiare tutti i segni

IL VIDEO PER RIPASSARE:

Esercizi

 

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Grado di un monomio

DEFINIZIONE Quando il monomio è ridotto a forma normale, il grado di un monomio rispetto a una lettera è l’esponente che la lettera ha nel monomio.

Il grado (complessivo) di un monomio è la somma dei gradi rispetto a tutte le lettere del monomio.

 

Esistono monomi di grado 0; essi presentano solo il coefficiente e pertanto sono equiparabili ai numeri razionali.

 

capitolo B1 – monomi – esercizi

Problemi risolvibili tramite equazioni

La professoressa F. è entrata in classe e ha dedicato 5 minuti al registro. Ha iniziato la lezione sui problemi ma dopo un certo tempo la classe era distratta e rumorosa e ha speso il doppio del tempo lezione per fare la predica. Arrabbiata ha dettato per un quarto d’ora (15 minuti) dei compiti per casa è solo gli ultimi 5 minuti ha permesso alla classe di riprendere i cellulari e preparare la cartella. Per quanti minuti è riuscita a fare lezione?

Sullo scaffale dell’aula di vetrinistica ci sono 3 scatole piene di perle colorate. Nella prima ci sono 31 perle bianche, nella seconda perle rosse e nella terza perle nere. La professoressa C. ha lasciato da solo N.Z. in laboratorio. Poiché non sta mai fermo ha fatto cadere le scatole. Spaventato dalla possibile nota ha raccolto le perle nere e messe nella scatola ma non fa in tempo a suddividere le 42 rimanenti sul pavimento perché entra la professoressa F. L’unico modo per risparmiarsi la nota è rispondere correttamente alla domanda ‘quante sono le perle rosse?’

La professoressa F. è talmente arrabbiata con C.R. e G.P. che ha hackerato i loro account rispettivamente iCloud e Google play. Ha così scoperto analizzando i loro spostamenti su google map e Apple map che C.R. percorre 450 m in 15 minuti per arrivare a scuola prendendo delle scorciatoie dalla stazione a scuola. Anche G.P. arriva con lo stesso treno ma assieme alla sua fidata bici. Curiosamente percorre la stessa distanza di C. Sulla strada incontra due semafori rossi e quindi è costretto a percorrere i cento metri che separano il secondo semaforo dalla scuola pedalando come un matto per non arrivare in ritardo. Sapendo che il primo semaforo è equidistante dalla stazione e dal secondo semaforo sai dire alla professoressa quanti metri ci sono tra i due semafori?

 

 

RISOLUZIONE PROBLEMI CON LE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

L’ Azienda X leader nel settore della COSMESI naturale conta nel 2015 di aumentare della sua metà il numero di punti vendita che possedeva nel 2014 arrivando a 330. Quanti erano i punti vendita nel 2014?

\( x + \frac{1}{2} x = 330\)
\(\large \frac{3}{2} x \normalsize = 330\)
\( x = 330 \cdot \large \frac{2}{3} \)

I punti vendita nel 2014 erano 220

I problemi con le equazioni sono esercizi in cui si richiede di tradurre la traccia in un’opportuna equazione, la cui soluzione coincide con la soluzione del problema.

Dall’astratto all’applicazione pratica. Useremo dei problemi da risolvere con le equazioni, concentrandoci sul caso particolare di primo grado.

Ha un’enorme importanza nella vita. Continuiamo a risolvere equazioni di primo grado.

Questo approccio è molto utile perché è il più semplice possibile, e una volta imparato sarà l’unico e il solo che utilizzerete.

Immaginate di dover risolvere un problema in cui, disponendo di alcuni dati, dovete determinare una quantità incognita.

Come risolvere i problemi con le equazioni?

Il procedimento per risolvere un problema con le equazioni consiste di pochi, semplici passaggi. Volendolo sintetizzare, potremmo dire che tutto si riduce a:

  • tradurre correttamente il testo nella corrispondente equazione;
  • risolvere l’equazione.

Più dettagliatamente, le fasi per la risoluzione dei problemi con le equazioni prevedono di…

1) Leggere con attenzione il testo del problema

Anche più volte se necessario! Per cominciare col piede giusto dobbiamo identificare con esattezza i dati e comprendere la logica della traccia.

2) Scegliere l’incognita

Solitamente, soprattutto per i problemi più semplici, l’incognita va scelta in modo che corrisponda al dato richiesto dal problema. Per non peccare di originalità 😉 in genere viene indicata con la lettera x.

3) Tradurre il testo nell’equazione risolutiva

Vale a dire, scrivere un’equazione che traduca in linguaggio simbolico il testo del problema. A costo di rileggere la traccia più e più volte, dobbiamo assicurarci che ci sia una perfetta corrispondenza tra ciò che esprime il testo e il significato dell’equazione.

La traduzione ruota tutta intorno all’incognita e a come essa si collega con gli altri dati del problema.

4) Risolvere l’equazione come visto nella lezione sulle equazioni di primo grado.

Esempi:

  1. Giorgio è molto invidioso dei disegno che fa il suo compagno di banco Andrea. Osservandolo per tutta la mattina decide che il segreto sta nella varietà di colori che Andrea ha utilizzato. Giorgio prende l’astuccio del compagno e conta le matite di colori differenti. Scopre che Andrea ne possiede solo 11 matite, ossia 3 matite più un quarto delle sue. Quante matite ha Giorgio?


  2. Tre fratelli hanno ciascuno tre euro in più del fratello minore. Sapendo che in totale hanno 40 euro e 20 centesimi, quanti soldi ha il fratello più grande?


  3. Il doppio di un numero naturale diminuito della sua metà è uguale a 20; qual è il numero?

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