Principi delle equazioni

Esistono due principi di equivalenza che ci aiutano a trovare la soluzione delle equazioni:

primo principio

Aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di un’equazione una stessa quantità  l’equazione ottenuta resta equivalente a quella data.

\(x + 3  = 5 \)

\(x + 3  \color{#ff0000}{ – 3} = 5   \color{#ff0000}{– 3}\)

\(x  = 2\)

approfondimento con esempi

secondo principio

Moltiplicando o dividendo entrambe i membri di un’equazione per una stessa quantità  diversa da zero l’equazione resta equivalente a quella data.

\({x \over  {3 } }= 5 \)

\(\color{#ff0000}{ 3 \cdot } {x \over 3} = \color{#ff0000}{ 3 \cdot } 5  \)

\(x  = 15\)

approfondimento con esempi

Osservando i principi possiamo dedurre 3 regole utili per risolvere le equazioni (passando attraverso equazioni equivalenti a quella data si ottiene il valore della x che la soddisfa)

Regola del trasporto:

posso trasportare un termine da una parte all’altra dell’uguale ma si deve cambiare il segno.

Regola dI CANCELLAZIONE:

posso cancellare i termine uguali che compaiono sia al primo che al secondo membro.

Regola dEL CAMBIAMENTO DEL SEGNO:

posso cambiare tutti i segni

IL VIDEO PER RIPASSARE:

Esercizi

 

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Numeri razionali

 

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DEFINIZIONE Una frazione è una coppia ordinata di numeri naturali, con il secondo diverso da 0.
Il primo numero è il numeratore della frazione, n, e il secondo è il denominatore, d.

\( n \over d \)

d≠0

 

Rappresentiamo alcune frazioni sulla retta dei numeri:

– \frac{1}{6}; + \frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{5}{12};- \frac{11}{12}

RETTA ORIENTATA 2


Le equazioni numeriche intere

Due equazioni lineari sono equivalenti se hanno la stessa soluzione.

Esempio le equazioni:

2x  = 4  e  3x = 6

sono due equazioni sono equivalenti, seppur formalmente diverse, perché hanno la stessa soluzione:

x = 2 infatti  2 • 2 = 4 e 3 • 2 = 6

È sempre possibile scrivere un’equazione di primo grado nella forma

\(ax = b\)

 

che è detta FORMA NORMALE

Se a ≠ 0 allora la soluzione è \( {x} \) =  \({b \over a} \) equazione è detta determinata
Se a=0 e b=0
→ x • 0=0
→ 0 =0
equazione è detta  indeterminata
e b ≠ 0
→ x • 0 = b
→ 0 = b
equazione è detta  impossibile

 

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Regola del trasporto e della cancellazione

Applicando il primo principio di equivalenza notiamo che il termine aggiunto o tolto sparisce da un membro e ricompare nell’altro con il segno cambiato.

Possiamo adottare la seguente regola detta del trasporto:

REGOLA DEL TRASPORTO: Data un’equazione, se ne ottiene una equivalente se si trasporta un termine da un membro all’altro, cambiandolo di segno.

Applicando il primo principio di equivalenza: ()
Ax a+ = Bx a+ () ” Ax B x=() () ⤻
aggiungiamo – a a entrambi i membri A( x ) + a – a = B( x ) + a – a
ESEMPIO x + 9 = 4 + 9 ” x 9 4 9
+ =+ ” x = 4. Listen to it
You can obtain an equation equivalent to a given one by multiplying or dividing both terms by the same number or expression with letters (different from zero).
■ Il secondo principio di equivalenza Il secondo principio di equivalenza si basa sulla seconda legge di monotonia. Secondo principio di equivalenza
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione, definita in un insieme, per uno stesso numero o espressione letterale, definiti nello stesso insieme e diversi da zero, otteniamo un’equazione equivalente.
ESEMPIO
3 x 2
3$$3 10=
3 2
= 10 ha come soluzione x = 15, perché 3 2
, ossia 2x = 30. $ 15 10= .
Moltiplichiamo i due membri per 3 e otteniamo l’equazione: x
La soluzione di questa equazione è 15, quindi è equivalente a quella data.

Equazioni

\(2 + 3x = 5x\)
DOMANDE:

  • è una identità?
  • Cosa succede se sostituiamo -1 a x?
  • Quali e quanti sono i valori che la rendono una identità?

 

Si può dimostrare che esiste un solo valore che, sostituito a x, rende vera l’uguaglianza. Questo valore è il numero 1:

infatti
\(2 + 3 \cdot \color{#ff0000}{1} = 5 \cdot \color{#ff0000}{1}\)
In generale, data un’uguaglianza fra due espressioni in cui compaiono delle variabili, ci si può chiedere per quali valori delle variabili essa è vera.

DEFINIZIONE Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni letterali per le quali si cercano i valori, da attribuire a una o più lettere, che rendono vera l’uguaglianza.

Due video per riflettere anche a casa:

mappa equazioni

 

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Calcoli percentuali sopracento e sottocento

Il calcolo percentuale serve per risolvere problemi che riguardano formule economiche di base come per es.:

  • Peso Lordo = Peso Netto + Tara;
  • Ricavo = Utile + Costo;
  • Costo comprensivo d’IVA= Costo Netto + relativa I. V. A.

La formula della proporzione è:

100 : r = S : P

r = ragione percentuale

esprime quante unità di una certa grandezza corrispondono a 100 unità di un’altra grandezza. Può esprimere sconti, tasse,

Tutti i problemi che incontrerai saranno caratterizzati da 4 termini (3 noti + 1 da trovare):

  • un valore noto;
  • un valore percentuale ricavabile immediatamente, o già trascritto;
  • un’incognita da trovare (x);
  • il quarto termine della proporzione sarà 100.

ESEMPI CONCRETI

Percentuale diretto:
Se una partita di merce costa 3.800 € il fornitore concede uno sconto del 6%. A quanto ammonta lo sconto?

Percentuale inverso:
Un rappresentante durante l’ultimo trimestre del 2016 ha venduto merce per 36.000 € percependo una provvigione pari a 2.800 €. Determinare la misura percentuale della provvigione.

Percentuale inverso:
Durante il trasporto dall’India una partita di The verde ha subito un calo di peso del 3% rispetto a quello originario. Qual è il peso originale sapendo che il calo è di 25,5 kg?

Sopracento diretto:
Sonia vuole regalare all’amica che vive a Londra una confezione di caffé il cui peso netto è di 2 kg e sapendo che la tara è il 5% del peso netto. Qual è il peso lordo che dichiarerà all’ufficio postale?

Sopracento inverso:
Il prezzo di vendita di un aspirapolvere super tecnologico è di 1.960 €. Sapendo che sul costo di aquisto c’è un ricarico del 40% calcolare il costo d’acquisto per il commerciante.

Sottocento inverso:
Un litro di benzina nel 2016 costava 1,31 €; considerando che oggi è di 1,42 € per litro, qual è stato l’aumento percentuale subito dal costo della benzina?

Sottocento diretto:
L’azienda MediaClic applica lo sconto mercantile del 25% su tutti i prodotti in vendita e calcola i prezzi dei seguenti prodotti:
– un lettore MP3, il cui costo di listino è di € 49,99;
– un notebook al prezzo scontato di € 999,50;
– una fotocamera digitale a cui viene applicato uno sconto che ammonta a € 75,50.

Determina:
– il prezzo scontato del lettore MP3;
– il prezzo di listino (originario) del notebook prima dell’offerta;
– il prezzo scontato della fotocamera digitale.

Soluzioni

Esercitazioni

http://www.economia-aziendale.it/sites/default/files/UDO_Albezzano/calcoli_sopracento_sottocento/index.html

Materiale di supporto