Sottoinsiemi

Un insieme A si dice sottoinsieme di un insieme I (oppure che A è “contenuto” o “incluso” in I), se tutti gli elementi di A appartengono anche a I.

Si indica con \(A \subset I\) se è “strettamente” incluso oppure \(A \subseteq I\) se può essere uguale

Concetti da conoscere:

  • sottoinsieme,
  • sottoinsieme vuoto
  • sottoinsieme improprio
  • sottoinsieme proprio

Un insieme si definisce universo quando contiene tutti gli elementi esistenti.

ESEMPIO:

insieme universo U = { x | x è uno studente}
insieme S = {x | x è uno studente della classe 1B}
sottoinsieme F = {x | x è uno studente 15enne della 1B}
sottoinsieme vuoto \(\emptyset \) = {x | x è uno studente 20enne della 1B}
sottoinsiemi proprio F
sottoinsiemi impropri \(\emptyset \) e U
   

Mappa sottoinsiemi ( sito www.mappe-scuola.com)

» LEZIONE PRECEDENTE: Sottoinsiemi, operazioni con gli insiemi
» LEZIONE SUCCESSIVA: Operazioni con gli insiemi

Definizione di insieme

Un insieme nel linguaggio matematico è un raggruppamento di oggetti chiamati elementi che hanno in comune caratteristiche ben definite.

Sono esempi di insiemi:

  • gli alunni di una classe;
  • i CD pubblicati da Maneskin;
  • i libri di una biblioteca
  • i punti di una circonferenza

Non è un insiemi “i film più belli del 2019”, “i dolci più buoni” perché non c’è accordo. Per qualcuno il tiramisù è il dolce più buono ma ad altre persone potrebbe non piacere.

I nomi degli insiemi si indicano con lettere maiuscole e gli elementi con lettere
minuscole.

Un elemento può appartenere (si indica con )oppure non appartenere a un insieme (si indica con ). Esempio u appartiene all’insieme delle vocali u V ma non appartiene all’insieme delle consonanti u C.

Rappresentazione degli insiemi

con diagramma di Eulero-Venn
    per elencazioneC = {b, c, d, f, g, h, l, m, n, p, q, r, s, t, v, z}
per caratteristica    C = {x | x è una consonante dell’alfabeto italiano} dove “|” signifjca “tale che” e si legge “l’insieme C costituito da tutti gli elementi x tali che x è una consonante dell’alfabeto italiano”.

♦ esercizi

Caratteristiche degli insiemi

In relazione al numero di elementi, gli insiemi si possono definire:

  • infiniti, (es. i numeri naturali)
  • finiti, (es. le cifre di un numero telefonico)
  • vuoti. (es. l’insieme degli umani alti più di tre metri)

La cardinalità di un insieme è il numero che indica quanti elementi possiede. Ad esempio, l’insieme A = {a, e, i , o, u}  ha cinque elementi quindi cardinalità 5; l’insieme dei numeri naturali \( \mathbb{N} \) ha invece cardinalità ∞.

Si può scrivere:

#A = 5     oppure     |A|=5
#\( \mathbb N \) = ∞     oppure     |\( \mathbb{N} \) |= ∞

Due insiemi con la stessa cardinalità sono detti equipotenti.

» LEZIONE SUCCESSIVA: Sottoinsiemi, operazioni con gli insiemi