Sottoinsiemi

Un insieme A si dice sottoinsieme di un insieme I (oppure che A è “contenuto” o “incluso” in I), se tutti gli elementi di A appartengono anche a I.

Si indica con \(A \subset I\) se è “strettamente” incluso oppure \(A \subseteq I\) se può essere uguale

Concetti da conoscere:

  • sottoinsieme,
  • sottoinsieme vuoto
  • sottoinsieme improprio
  • sottoinsieme proprio

Un insieme si definisce universo quando contiene tutti gli elementi esistenti.

ESEMPIO:

insieme universo U = { x | x è uno studente}
insieme S = {x | x è uno studente della classe 1B}
sottoinsieme F = {x | x è uno studente 15enne della 1B}
sottoinsieme vuoto \(\emptyset \) = {x | x è uno studente 20enne della 1B}
sottoinsiemi proprio F
sottoinsiemi impropri \(\emptyset \) e U
   

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Definizione di insieme

Un insieme nel linguaggio matematico è un raggruppamento di oggetti chiamati elementi che hanno in comune caratteristiche ben definite.

Sono esempi di insiemi:

  • gli alunni di una classe;
  • i CD pubblicati da Maneskin;
  • i libri di una biblioteca
  • i punti di una circonferenza

Non è un insiemi “i film più belli del 2019”, “i dolci più buoni” perché non c’è accordo. Per qualcuno il tiramisù è il dolce più buono ma ad altre persone potrebbe non piacere.

I nomi degli insiemi si indicano con lettere maiuscole e gli elementi con lettere
minuscole.

Un elemento può appartenere (si indica con )oppure non appartenere a un insieme (si indica con ). Esempio u appartiene all’insieme delle vocali u V ma non appartiene all’insieme delle consonanti u C.

Rappresentazione degli insiemi

con diagramma di Eulero-Venn
    per elencazioneC = {b, c, d, f, g, h, l, m, n, p, q, r, s, t, v, z}
per caratteristica    C = {x | x è una consonante dell’alfabeto italiano} dove “|” signifjca “tale che” e si legge “l’insieme C costituito da tutti gli elementi x tali che x è una consonante dell’alfabeto italiano”.

♦ esercizi

Caratteristiche degli insiemi

In relazione al numero di elementi, gli insiemi si possono definire:

  • infiniti, (es. i numeri naturali)
  • finiti, (es. le cifre di un numero telefonico)
  • vuoti. (es. l’insieme degli umani alti più di tre metri)

La cardinalità di un insieme è il numero che indica quanti elementi possiede. Ad esempio, l’insieme A = {a, e, i , o, u}  ha cinque elementi quindi cardinalità 5; l’insieme dei numeri naturali \( \mathbb{N} \) ha invece cardinalità ∞.

Si può scrivere:

#A = 5     oppure     |A|=5
#\( \mathbb N \) = ∞     oppure     |\( \mathbb{N} \) |= ∞

Due insiemi con la stessa cardinalità sono detti equipotenti.

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Numeri razionali

 

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DEFINIZIONE Una frazione è una coppia ordinata di numeri naturali, con il secondo diverso da 0.
Il primo numero è il numeratore della frazione, n, e il secondo è il denominatore, d.

\( n \over d \)

d≠0

 

Rappresentiamo alcune frazioni sulla retta dei numeri:

– \frac{1}{6}; + \frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{5}{12};- \frac{11}{12}

RETTA ORIENTATA 2


Fattorizzazione numeri naturali

Scomporre in fattori un numero significa scriverlo come prodotto di altri numeri naturali. Dal teorema fondamentale dell’Aritmetica sappiamo che lo possiamo fare.

Ci sono due metodi:

  1. riga
  2. albero

Ecco due video che spiegano come scomporre un numero in fattori primi con il metodo della riga

 


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Numeri primi

DEFINIZIONE Si dicono primi i numeri naturali, diversi da 0 e da 1, che hanno come divisori soltanto 1 e se stessi.

  • Quando un numero non è primo, è sempre possibile farne la scomposizione in fattori primi, ossia scriverlo sotto forma di un prodotto in cui tutti i fattori sono numeri primi.
  • La scomposizione di un numero in fattori primi è unica. Viene anche chiamata fattorizzazione in numeri primi.

Quello appena scritto è conosciuto come TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA

Un video interessante da uno dei più famosi matematici inglesi che qualche volta è venuto anche a Trento.

Multipli e divisori

DEFINIZIONE Un numero naturale m è multiplo di un numero naturale n se esiste un numero k che moltiplicato per n dà:

\(\color{red}{m} = \color{#ff00ff}{n} \cdot\color{green}{k}\)

Esempio:

Multipli di 12:

12, 24, 36, 48 …

infatti

\(12 = \color{green}{1} \cdot 12\)

\(24 = \color{green}{2} \cdot 12\);

\(36 = \color{green}{3} \cdot 12\).

i multipli sono infiniti.

Possiamo riassumere con il seguente schema:

DEFINIZIONE Siano ab due numeri naturali, con b diverso da 0: si dice che b è divisore di a se la divisione intera di a per b dà come resto 0In modo equivalente si può dire che b è un divisore di a se esiste un numero naturale q tale che:

\(\color{red}{a} =\color{green}{q} \cdot\color{#ff00ff}{b}\)