Principi delle equazioni

Esistono due principi di equivalenza che ci aiutano a trovare la soluzione delle equazioni:

primo principio

Aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di un’equazione una stessa quantità  l’equazione ottenuta resta equivalente a quella data.

\(x + 3  = 5 \)

\(x + 3  \color{#ff0000}{ – 3} = 5   \color{#ff0000}{– 3}\)

\(x  = 2\)

approfondimento con esempi

secondo principio

Moltiplicando o dividendo entrambe i membri di un’equazione per una stessa quantità  diversa da zero l’equazione resta equivalente a quella data.

\({x \over  {3 } }= 5 \)

\(\color{#ff0000}{ 3 \cdot } {x \over 3} = \color{#ff0000}{ 3 \cdot } 5  \)

\(x  = 15\)

approfondimento con esempi

Osservando i principi possiamo dedurre 3 regole utili per risolvere le equazioni (passando attraverso equazioni equivalenti a quella data si ottiene il valore della x che la soddisfa)

Regola del trasporto:

posso trasportare un termine da una parte all’altra dell’uguale ma si deve cambiare il segno.

Regola dI CANCELLAZIONE:

posso cancellare i termine uguali che compaiono sia al primo che al secondo membro.

Regola dEL CAMBIAMENTO DEL SEGNO:

posso cambiare tutti i segni

IL VIDEO PER RIPASSARE:

Esercizi

 

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Le equazioni numeriche intere

Due equazioni lineari sono equivalenti se hanno la stessa soluzione.

Esempio le equazioni:

2x  = 4  e  3x = 6

sono due equazioni sono equivalenti, seppur formalmente diverse, perché hanno la stessa soluzione:

x = 2 infatti  2 • 2 = 4 e 3 • 2 = 6

È sempre possibile scrivere un’equazione di primo grado nella forma

\(ax = b\)

 

che è detta FORMA NORMALE

Se a ≠ 0 allora la soluzione è \( {x} \) =  \({b \over a} \) equazione è detta determinata
Se a=0 e b=0
→ x • 0=0
→ 0 =0
equazione è detta  indeterminata
e b ≠ 0
→ x • 0 = b
→ 0 = b
equazione è detta  impossibile

 

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Regola del trasporto e della cancellazione

Applicando il primo principio di equivalenza notiamo che il termine aggiunto o tolto sparisce da un membro e ricompare nell’altro con il segno cambiato.

Possiamo adottare la seguente regola detta del trasporto:

REGOLA DEL TRASPORTO: Data un’equazione, se ne ottiene una equivalente se si trasporta un termine da un membro all’altro, cambiandolo di segno.

Applicando il primo principio di equivalenza: ()
Ax a+ = Bx a+ () ” Ax B x=() () ⤻
aggiungiamo – a a entrambi i membri A( x ) + a – a = B( x ) + a – a
ESEMPIO x + 9 = 4 + 9 ” x 9 4 9
+ =+ ” x = 4. Listen to it
You can obtain an equation equivalent to a given one by multiplying or dividing both terms by the same number or expression with letters (different from zero).
■ Il secondo principio di equivalenza Il secondo principio di equivalenza si basa sulla seconda legge di monotonia. Secondo principio di equivalenza
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione, definita in un insieme, per uno stesso numero o espressione letterale, definiti nello stesso insieme e diversi da zero, otteniamo un’equazione equivalente.
ESEMPIO
3 x 2
3$$3 10=
3 2
= 10 ha come soluzione x = 15, perché 3 2
, ossia 2x = 30. $ 15 10= .
Moltiplichiamo i due membri per 3 e otteniamo l’equazione: x
La soluzione di questa equazione è 15, quindi è equivalente a quella data.

Equazioni

\(2 + 3x = 5x\)

DOMANDE:

  • è una identità?
  • Cosa succede se sostituiamo -1 a x?
  • Quali e quanti sono i valori che la rendono una identità?

 

Si può dimostrare che esiste un solo valore che, sostituito a x, rende vera l’uguaglianza. Questo valore è il numero 1:

infatti
\(2 + 3 \cdot \color{#ff0000}{1} = 5 \cdot \color{#ff0000}{1}\)

In generale, data un’uguaglianza fra due espressioni in cui compaiono delle variabili, ci si può chiedere per quali valori delle variabili essa è vera.

DEFINIZIONE Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni letterali per le quali si cercano i valori, da attribuire a una o più lettere, che rendono vera l’uguaglianza.

Due video per riflettere anche a casa:

mappa equazioni

 

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Identità

DEFINIZIONE Un’identità è un’uguaglianza dove compaiono espressioni letterali verificata per qualunque valore attribuito alle lettere contenute nelle espressioni.

Sono esempi di identità:

\(a + a = 2a\)

\(ab^2 \cdot a^3b = a^4b^3\);

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Ciascuna delle due espressioni che costituiscono l’uguaglianza viene detta membro dell’identità; l’espressione di sinistra è detta primo membro, quella di destra secondo membro.

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