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Disequazioni frazionarie

In questa lezione vediamo:

  • che cos’è una disequazione frazionaria (o fratta), noi considereremo per ora solo disequazioni di primo grado (la x ha esponente 1)
  • come si risolve (mediante lo studio dei segni)
  • come si rappresentano le soluzioni

Per questo argomento ho preparato un pdf: Disequazioni fratte, leggetelo con cura e se ci fossero problemi guardate anche il video che segue. Le notazioni sono leggermente differenti ma il procedimento è uguale.

Provate a risolvere la seguente disequazione:

 

\({ {2x +1 } \over {x-1}} > 0\)

 

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Principi delle equazioni

Esistono due principi di equivalenza che ci aiutano a trovare la soluzione delle equazioni:

primo principio

Aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di un’equazione una stessa quantità  l’equazione ottenuta resta equivalente a quella data.

\(x + 3  = 5 \)

\(x + 3  \color{#ff0000}{ – 3} = 5   \color{#ff0000}{– 3}\)

\(x  = 2\)

approfondimento con esempi

secondo principio

Moltiplicando o dividendo entrambe i membri di un’equazione per una stessa quantità  diversa da zero l’equazione resta equivalente a quella data.

\({x \over  {3 } }= 5 \)

\(\color{#ff0000}{ 3 \cdot } {x \over 3} = \color{#ff0000}{ 3 \cdot } 5  \)

\(x  = 15\)

approfondimento con esempi

Osservando i principi possiamo dedurre 3 regole utili per risolvere le equazioni (passando attraverso equazioni equivalenti a quella data si ottiene il valore della x che la soddisfa)

Regola del trasporto:

posso trasportare un termine da una parte all’altra dell’uguale ma si deve cambiare il segno.

Regola dI CANCELLAZIONE:

posso cancellare i termine uguali che compaiono sia al primo che al secondo membro.

Regola dEL CAMBIAMENTO DEL SEGNO:

posso cambiare tutti i segni

IL VIDEO PER RIPASSARE:

Esercizi

 

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Tassi equivalenti

Due tassi, relativi a differenti periodi di capitalizzazione, sono tassi equivalenti quando, applicati allo stesso capitale e con la stessa durata, danno montanti uguali.

Cerchiamo una relazione per ottenere tassi equivalenti.

Poniamo per comodità:

C = 1

t = 1,

consideriamo il tasso annuo i e il tasso ik relativo a 1/k di anno e supponiamo che diano lo stesso montante

1 + i = (1 + ik) k

Tale relazione d’equivalenza valida per un anno deve sussistere per qualunque durata. Da qui deduciamo che

il tasso annuo i equivalente a ik

è

i = (1 + ik)k– 1

Approfondimento sul web:

http://www.bankpedia.org/index.php/it/129-italian/t/22713-tasso-equivalente

Esercizi Tasso Equivalente

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mcm e MCD monomio

Fra due o più monomi si possono calcolare il massimo comune divisore (M.C.D.) e il minimo comune multiplo (m.c.m.) con le seguenti regole del tutto analoghe a quelle fra numeri

Il M.C.D. è il monomio che ha come coefficiente il M.C.D. fra i coefficienti ( se i coefficienti sono frazionari) e come parte letterale il prodotto delle lettere comuni prese con il minimo esponente:

Es.

M.C.D.(6a3bx4,12a2b) = 6a2b

il m.c.m. è il monomio che ha come coefficiente il m.c.m. fra i coefficienti ( se i coefficienti sono frazionari) e come parte letterale il prodotto delle lettere comuni e non comuni prese con il massimo esponente:

m.c.m.(–2ax2y2,3axy) = 6ax2y2

Non si può eseguire la somma o la differenza di monomi che non sono simili. In questo caso abbiamo un POLINOMIO.

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Operazioni con i monomi

Per prima cosa bisogna ridurre i monomi in forma normale

Operazione

Condizione

Coefficienti

Parte letterale

ADDIZIONE e SOTTRAZIONE

solo se i monomi sono simili

si sommano o si sottraggono i coefficienti

si lascia inalterata la parte letterale

MOLTIPLICAZIONE

  

si moltiplicano i coefficienti

applicando le proprietà delle potenze si sommano gli esponenti delle lettere uguali

DIVISIONE

solo se il primo monomio (monomio dividendo) ha gli esponenti delle lettere maggiori o uguali a quelli delle corrispondenti lettere del secondo monomio (monomio divisore)

si dividono i coefficienti

applicando le proprietà delle potenze e sottraendo gli esponenti delle lettere uguali

ELEVAMENTO A POTENZA

  

si eleva il coefficiente alla potenza

applicando di nuovo le proprietà delle potenze e moltiplicando gli esponenti delle lettere per la potenza comune

 

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Sistemi di equazioni

DEFINIZIONI

Si definisce SISTEMA DI EQUAZIONI l’insieme di più equazioni, in due o più incognite, che devono essere verificate contemporaneamente. La scrittura formale si ottiene associando le equazioni mediante una parentesi graffa. Analizzeremo in particolare i sistemi in due equazioni e due incognite.

L’INSIEME SOLUZIONE (I.S.) di un sistema di equazioni in due incognite è formato da tutte le coppie di numeri reali che rendono vere tutte le equazioni contemporaneamente.

Si chiama GRADO DI UN SISTEMA il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. In particolare, se le equazioni che lo compongono sono di primo grado, il sistema si chiama sistema lineare.

La forma normale o canonica di un sistema lineare è:

 

\(\left\{ \begin{array}{l} a_1x+b_1y=c_1\\ \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{array} \right.\)

 

Ci chiediamo se i sistemi hanno sempre soluzione?

I sistemi possono essere:

  • determinati: quando ha un numero finito di soluzioni;
  • impossibili: quando non ammette soluzioni;
  • indeterminati: quando hanno infinite soluzioni.

È possibile prevedere prima di iniziare a ricercare le soluzioni a quale tipo appartiene il sistema. Per prima cosa lo dobbiamo ridurre in forma normale e poi verifichiamo i seguenti rapporti:  

 

Determinati

\( {a_2 \over b_2} \neq {a_1 \over b_1} \)

Impossibili

\( {a_2 \over b_2} = {a_1 \over b_1} \neq {c_1 \over c_2} \)

Indeterminati

\( {a_2 \over b_2} = {a_1 \over b_1} = {c_1 \over c_2} \)

Un problema:

Devo preparare una teglia di pizza da 15 kg. Sapendo che la farina da usare è il doppio dell’acqua e che le quantità di lievito e sale sono irrisorie, quanta farina e quanta acqua ci vorranno?