Disequazioni

Le seguenti scritture rappresentano una disuguaglianza numerica:

2 < 8 (si legge 2 MINORE di 8)

e

–1 > –15 (si legge –1 MAGGIORE di –15)

Qualunque disuguaglianza può essere scritta usando sia il segno di minore oppure il segno di maggiore; le due scritture del seguente esempio hanno lo stesso significato:

8 > 6 e 6 < 8

Come nelle uguaglianze, l’espressione che sta a sinistra del simbolo si chiama primo membro e l’espressione che sta a destra del simbolo si chiama secondo membro. Le disuguaglianze in cui compare una variabile (es. la lettera x) sono definite disequazioni.

Esempio

2x > 0

DEFINIZIONE: Si dice disequazione una disuguaglianza fra due espressioni letterali, verificata solo da particolari valori attribuiti alle lettere.

Risolvere una disequazione vuol dire cercare i valori  (numeri reali ) per i quali la disuguaglianza risulta vera. Quindi le soluzioni di una disequazione sono i numeri reali che, sostituiti all’incognita, trasformano la disequazione in una disuguaglianza vera.

Le disequazioni possono essere:

nome descrizione esempio
  • INTERE
l’incognita non compare al denominatore \( {2x+ 1 \over 3  }>0\)
  • FRAZIONARIA
l’incognita compare anche al denominatore \( {{2x -1 } \over x} ≥ 1\)
  • LETTERALE
quando, oltre all’incognita, compaiono anche dei parametri \( 2kx ≥ 1\)

 

In una disequazione sarà presente uno dei seguenti simboli:

> maggiore

maggiore o uguale

< minore

minore o uguale

Rappresentazione delle soluzioni:

  • come retta
  • come insieme
\(\{ \forall x \mathbb{R} | x > 0\} \) \(\{ \forall x \in \mathbb{R} | x ≤ -2 \land x ≥ 6\} \)
  • come intervallo
\((0, +\infty)\) \([-2, +6]\)

STRUMENTI PER RISOLVERE LE DISEQUAZIONI

Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

I° Principio: Addizionando o sottraendo a ciascuno dei due membri di una disequazione uno stesso numero o una stessa espressione (definita per qualunque valore attribuito all’incognita), si ottiene una disequazione equivalente alla data.

Regola pratica: questo principio ci permette di “spostare” un addendo da un membro all’altro cambiandogli segno o di “eliminare” da entrambi i membri gli addendi uguali.

II° Principio: Moltiplicando o dividendo ciascuno dei due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo o per una stessa espressione (definita e positiva per qualunque valore attribuito alla variabile), si ottiene una disequazione equivalente alla data.

III° Principio: Moltiplicando o dividendo ciascuno dei due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo o per una stessa espressione (definita e negativa per qualunque valore attribuito alla variabile), si ottiene una disequazione equivalente alla data ma con il simbolo di disuguaglianza con il verso cambiato.

MATERIALE LEZIONE

 

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