Intervalli della retta dei reali

Dati due numeri reali a e b, con a < b, si chiamano intervalli i seguenti sottoinsiemi di ℝ:

1. (a,b) = {x ∈ ℝ | a < x < b} intervallo limitato aperto (a e b sono esclusi);
2. [a,b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} intervallo limitato chiuso (a e b sono inclusi) ;
3. [a,b) = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} intervallo limitato chiuso a sinistra e aperto a destra (a è incluso e b è escluso);
4. (a,b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b} intervallo limitato aperto a sinistra e chiuso a destra (a è escluso e b è incluso);
5. (a, + ∞) = {x ∈ ℝ | x > a} intervallo superiormente illimitato aperto (a è escluso);
6. [a, + ∞) = {x ∈ ℝ | x a} intervallo superiormente illimitato chiuso a sinistra (a è incluso);
7. (−∞, b) = {x ∈ ℝ | x < b} intervallo inferiormente illimitato aperto (b è escluso);
8. (−∞, b] = {x ∈ ℝ | x b} intervallo inferiormente illimitato chiuso a destra (b è escluso).

I numeri a e b si chiamano estremi (rispettivamente inferiore e superiore) dell’intervallo.

gli intervalli aperti possono anche essere indicati con la parentesi quadra opposta. Ad esempio l’intervallo (a, b) può essere anche scritto ]a, b[, come [a, b) può essere scritto [a, b[.

I numeri reali ℝ possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta: ogni numero reale ha per immagine un punto della retta e viceversa ogni punto della retta è immagine di un numero reale. Di conseguenza ognuno degli intervalli sopra definiti ha per immagine una semiretta o un segmento, precisamente gli intervalli limitati corrispondono a segmenti e quelli illimitati a semirette. Vediamo con degli esempi come si rappresentano i diversi tipi di intervalli sulla retta r immagine dei valori reali.