PROBLEMA DI RIPARTIZIONE

In un PROBLEMA DI RIPARTIZIONE si deve dividere un numero (somma di denaro, spesa, vincita, ecc.), che indichiamo con S, in parti direttamente o inversamente proporzionali a uno o più valori (conosciuti) presi come riferimento per la suddivisione (quote societarie, età, millesimi ecc.).

Pertanto divideremo S in tante parti xyz,…. tali che la loro somma sia pari ad S. Ovvero:

x + y + z = S.

La ripartizione può essere semplice o composta a seconda che sia ripartita in parti proporzionali ad una sola grandezza o a più grandezze, 

RIPARTI SEMPLICI sono DIRETTI quando il numero da dividere, viene suddiviso in parti DIRETTAMENTE PROPORZIONALI ad una grandezza.
RIPARTI SEMPLICI sono INVERSI quando il numero da dividere, viene suddiviso in parti INVERSAMENTE PROPORZIONALI ad una grandezza.
 
Facciamo un esempio:

Tre persone decidono di fondare una società insieme. La prima apporta un capitale di 15.000 euro, la seconda apparta un capitale di 25.000 euro e la terza apporta un capitale di 60.000 euro.

A fine anno la società ha realizzato un utile di 120.000 euro . Quale somma spetta a ciascun socio?

La grandezza da ripartire, che chiamiamo S, è l’utile. Quindi:

S = 120.000.

L’utile va ripartito tra i tre soci in maniera direttamente proporzionale al capitale conferito.

Quindi ci troviamo di fronte ad un PROBLEMA di RIPARTIZIONE SEMPLICE DIRETTA. Infatti l’utile viene ripartito in parti proporzionali ad una sola grandezza: il capitale conferito. Inoltre esso deve essere suddiviso in parti direttamente proporzionali al capitale.

Vediamo come possiamo risolvere questo tipo di problema.

Dobbiamo calcolare tre numeri, che chiamiamo x,  z, tali che la loro somma sia pari a 120.000 e che siano direttamente proporzionali rispettivamente a 15.000, a 25.000e a 60.000.

Quindi possiamo scrivere:

x + y + z = 120.000.

Inoltre

utile

x

y

z

capitale

15.000

25.000

60.000

tali che l’utile sia DIRETTAMENTE PROPORZIONALE al capitale investito.

Pertanto possiamo scrivere che

x : 15.000 = y : 25.000 = z : 60.000.

Ma noi sappiamo che in una SERIE DI RAPPORTI UGUALI la SOMMA DEGLI ANTECEDENTI sta alla SOMMA DEI CONSEGUENTI come UN ANTECEDENTE sta al SUO CONSEGUENTE.

Quindi possiamo scrivere:

(x + y + z) : (15.000 + 25.000 + 60.000) = x : 15.000

(x + y + z) : (15.000 + 25.000 + 60.000) = y : 25.000

(x + y + z) : (15.000 + 25.000 + 60.000) = z : 60.000.

Ma dato che noi sappiamo che 

x + y + z = 120.000

avremo:

120.000 : (15.000 + 25.000 + 60.000) = x : 15.000

120.000 : (15.000 + 25.000 + 60.000) = y : 25.000

120.000 : (15.000 + 25.000 + 60.000) = z : 60.000.

Quindi troviamo i valori di xy e z:

Riparti proporzionali semplici diretti

Ora osserviamo le formule scritte sopra:

  • 120.000 è il valore di S, cioè il numero che dobbiamo ripartire;

  • S deve essere ripartito in maniera direttamente proporzionale a 15.00025.00060.000. Questi tre valori li chiamiamo rispettivamente abc.

Le tre formule viste sopra le possiamo allora scrivere nel modo seguente:

Riparti proporzionali semplici diretti

Notiamo che queste formule hanno tutte una parte comune che prende il nome di COEFFICIENTE DI RIPARTO.

Coefficiente di riparto

Quindi i RIPARTI SEMPLICI DIRETTI si risolvono MOLTIPLICANDO il COEFFICIENTE DI RIPARTO per le DIVERSE GRANDEZZE CONOSCIUTE in base alle quali occorre effettuare il riparto.

Tornando all’esempio precedente, avremmo potuto risolvere il problema così:

Coefficiente di riparto

Notiamo che la somma dei tre valori ottenuti x (18.000), y (30.000) e (72.000) è pari a 120.000.

Continuiamo a parlare di RIPARTI PROPORZIONALI SEMPLICI e cerchiamo di capire come si risolvono quelli INVERSI.

Ricordiamo che in questo tipo di riparto il numero da dividere viene suddiviso in parti INVERSAMENTE PROPORZIONALI ad UNA SOLA GRANDEZZA.

Vediamo il seguente esempio:

Un imprenditore, a fine anno, destina un premio di 2.000 euro alle sue tre segretarie da ripartire in proporzione inversa al numero di giorni di assenza di ognuna.

Determinare il premio spettante a ciascuna segretaria sapendo che la prima ha effettuato 4 giorni di assenza nel corso dell’anno, la seconda ha effettuato 10 giorni di assenza e la terza ha effettuato 8 giorni di assenza.

La grandezza da ripartire, che chiamiamo S, è il premio. Quindi:

S = 2.000.

Il premio va ripartito tra le tre segretarie in maniera inversamente proporzionale al numero di giorni di assenza.

Quindi ci troviamo di fronte ad un PROBLEMA di RIPARTIZIONE SEMPLICE INVERSA. Infatti il premio viene ripartito in parti proporzionali ad una sola grandezza: i giorni di assenza. Inoltre esso deve essere suddiviso in parti inversamente proporzionali alle assenze.

Vediamo come possiamo risolvere questo tipo di problema.

Dobbiamo calcolare tre numeri, che chiamiamo x,  z, tali che la loro somma sia pari a 2.000 e che siano inversamente proporzionali rispettivamente a 4, a 10 e a 8.

Quindi possiamo scrivere:

x + y + z = 2.000.

Inoltre

premio

x

y

z

assenze

4

10

8

tali che l’utile sia INVERSAMENTE PROPORZIONALE al capitale investito.

Pertanto possiamo scrivere che

x : 1/4 = y : 1/10 = z : 1/8.

Ma noi sappiamo che in una SERIE DI RAPPORTI UGUALI la SOMMA DEGLI ANTECEDENTI sta alla SOMMA DEI CONSEGUENTI come UN ANTECEDENTE sta al SUO CONSEGUENTE.

Quindi possiamo scrivere:

(x + y + z) : (1/4 + 1/10 + 1/8) = x : 1/4

(x + y + z) : (1/4 + 1/10 + 1/8) = y : 1/10

(x + y + z) : (1/4 + 1/10 + 1/8) = z : 1/8.

Ma dato che noi sappiamo che 

x + y + z = 2.000

avremo:

2.000 : (1/4 + 1/10 + 1/8) = x : 1/4

2.000 : (1/4 + 1/10 + 1/8) = y : 1/10

2.000 : (1/4 + 1/10 + 1/8) = z : 1/8.

Quindi troviamo i valori di xy e z:

Riparti proporzionali semplici inversi

Ora osserviamo le formule scritte sopra:

  • 2.000 è il valore di S, cioè il numero che dobbiamo ripartire;

  • S deve essere ripartito in maniera inversamente proporzionale a 4108. Questi tre valori li chiamiamo rispettivamente abc.

Le tre formule viste sopra le possiamo allora scrivere nel modo seguente:

Riparti proporzionali semplici inversi

Notiamo che queste formule hanno tutte una parte comune che prende il nome di COEFFICIENTE DI RIPARTO.

Coefficiente di riparto

Quindi i RIPARTI SEMPLICI INVERSI si risolvono MOLTIPLICANDO il COEFFICIENTE DI RIPARTO per i RECIPROCI delle DIVERSE GRANDEZZE CONOSCIUTE in base alle quali occorre effettuare il riparto.

Tornando all’esempio precedente, avremmo potuto risolvere il problema così:

Coefficiente di riparto

Notiamo che la somma dei tre valori ottenuti x (1.052,63), y (421,05) e z (526,32) è pari a 2.000.

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