Sistemi di equazioni

DEFINIZIONI

Si definisce SISTEMA DI EQUAZIONI l’insieme di più equazioni, in due o più incognite, che devono essere verificate contemporaneamente. La scrittura formale si ottiene associando le equazioni mediante una parentesi graffa. Analizzeremo in particolare i sistemi in due equazioni e due incognite.


L’INSIEME SOLUZIONE (I.S.) di un sistema di equazioni in due incognite è formato da tutte le coppie di numeri reali che rendono vere tutte le equazioni contemporaneamente.


Si chiama GRADO DI UN SISTEMA il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. In particolare, se le equazioni che lo compongono sono di primo grado, il sistema si chiama sistema lineare.


La forma normale o canonica di un sistema lineare è:

 

\(\left\{ \begin{array}{l} a_1x+b_1y=c_1\\ \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{array} \right.\)

 

Ci chiediamo se i sistemi hanno sempre soluzione?

I sistemi possono essere:

  • determinati: quando ha un numero finito di soluzioni;
  • impossibili: quando non ammette soluzioni;
  • indeterminati: quando hanno infinite soluzioni.

È possibile prevedere prima di iniziare a ricercare le soluzioni a quale tipo appartiene il sistema. Per prima cosa lo dobbiamo ridurre in forma normale e poi verifichiamo i seguenti rapporti:  

 

Determinati

\( {a_2 \over b_2} \neq {a_1 \over b_1} \)

Impossibili

\( {a_2 \over b_2} = {a_1 \over b_1} \neq {c_1 \over c_2} \)

Indeterminati

\( {a_2 \over b_2} = {a_1 \over b_1} = {c_1 \over c_2} \)


Un problema:

Devo preparare una teglia di pizza da 15 kg. Sapendo che la farina da usare è il doppio dell’acqua e che le quantità di lievito e sale sono irrisorie, quanta farina e quanta acqua ci vorranno?

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